NCERT Notes For Class 10 Maths Chapter 10 in Hindi वृत का नोट्स

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अध्याय 10: वृत प्रश्नावली 10.1

1. एक वृत्त की कितनी स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं?

हल :

एक वृत्त की अनेक स्पर्श रेखाएँ हो सकती हैं।

2. रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :

(i) किसी वृत्त की स्पर्श रेखा उसे _______ बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करती है।

(ii) वृत्त को दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखा को _______ कहते हैं।

(iii) एक वृत्त की _______ समान्तर स्पर्श रेखाएँ हो सकती है।

(iv) वृत्त तथा उसकी स्पर्श रेखा के उभयनिष्ठ बिन्दु को _______ कहते हैं।

हल :

(i) केवल एक

(ii) छेदक रेखा

(iii) दो

(iv) स्पर्श बिन्दु

3. 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के बिन्दु P पर स्पर्श रेखा PQ केन्द्र O से जाने वाली एक रेखा से बिन्दु Q पर इस प्रकार मिलती है कि OQ = 12 सेमी। PQ ए की लम्बाई हैं :
(A) 12 सेमी
(B) 13 सेमी
(C) 8.5 सेमी
(D) √119 सेमी।

हल :

NCERT Class 10 Maths Ex 10.1 Q3 solution

माना, O क़ेन्द्र वाला एक वृत्त है।

दिया गया है, OP = 5 cm, OQ = 12 cm

ΔOPQ में, 

OQ2 = OP2 + PQ2 [पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार]

⇒ (12)2 = (5)2 + PQ2

⇒ 144 = 25 + PQ2

⇒ PQ2 = 144 – 25

⇒ PQ2 = 119

⇒ PQ = √119 cm

विकल्प (D) सही उत्तर है।

4. एक वृत्त खींचिए और एक दी गई रेखा के समान्तर दो ऐसी रेखाएँ खींचिए कि उनमें से एक स्पर्श रेखा हो तथा दूसरी छेदक रेखा हो।

हल :

NCERT Class 10 Maths Ex 10.1 Q4 solution

 रेखा XY वृत्त की छेदक रेखा तथा AB स्पर्श रेखा समान्तर है।

अध्याय 10: वृत प्रश्नावली 10.2

प्रश्न संख्या 1, 2 एवं 3 में सही विकल्प चुनिए एवं उचित कारण लिखिए।

1. एक बिन्दु Q से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 24 cm तथा Q की केन्द्र से दूरी 25 cm है, तो वृत्त की त्रिज्या है :

(A) 7 cm

(B) 12 cm

(C) 15 cm

(D) 24.5 cm

हल :

NCERT Class 10 Maths Ex 10.2 Q1 solution

माना, O क़ेन्द्र वाला एक वृत्त है। OP वृत की त्रिज्या तथा PQ वृत्त की स्पर्श रेखा है।

OP ⊥ PQ

दिया गया है, OQ = 25 cm, PQ = 24 cm

ΔOPQ में, 

OQ2 = OP2 + PQ2 [पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार]

⇒ (25)2 = OP2 + (24)2

⇒ 625 = OP2 + 576

⇒ OP2 = 625 – 576

⇒ OP2 = 49

⇒ OP = \(\sqrt{49}\)

⇒ OP = 7 cm

विकल्प (A) सही उत्तर है।

2. आकृति 10.11 में यदि TP, TQ केन्द्र O वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि ∠POQ = 110°, तो ∠PTQ हैं:

(A) 60°

(B) 70°

(C) 80°

(D) 90°

NCERT Class 10 Maths Ex 10.2 Q2

हल :

O क़ेन्द्र वाले वृत्त की OP और OQ वृत्त की त्रिज्याएँ हैं तथा TP और TQ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

OP ⊥ TP और,

OQ ⊥ TQ

∴ ∠ OPT = ∠ OQT = 90°

दिया गया है, ∠ POQ = 110°

एक चतुर्भुज के अंत: कोणों का योग = 360°

∠ OPT + ∠ OQT + ∠ POQ + ∠ PTQ = 360°

⇒ 90° + 90° + 110° + ∠ PTQ = 360°

⇒ 290° + ∠ PTQ = 360°

⇒ ∠ PTQ = 360° – 290°

⇒ ∠ PTQ = 70°

विकल्प (B) सही उत्तर है।

3. यदि एक बिन्दु P से O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 80° के कोण पर झुकी हैं तो ∠POA बराबर है :

(A) 50°

(B) 60°

(C) 70°

(D) 80°

हल :

NCERT Class 10 Maths Ex 10.2 Q3 solution

O क़ेन्द्र वाले वृत्त की OA और OB वृत्त की त्रिज्याएँ हैं तथा PA और PB वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।

PA ⊥ OA तथा,

PB ⊥ OB

∴ ∠OAP = ∠ OBP = 90°

दिया गया है, ∠ APB = 110°

एक चतुर्भुज के अंत: कोणों का योग = 360°

OAP + ∠ OBP + ∠ APB + ∠ AOB = 360°

⇒ 90° + 90° + 80° + ∠ AOB = 360°

 ⇒ 260° + ∠ AOB = 360°

⇒ ∠ AOB = 360° – 260°

⇒ ∠ AOB = 100°

अब, O तथा P को मिलाया गया

ΔOAP तथा ΔOBP में,

OA = OB [वृत्त की त्रिज्याएँ हैं]

PA = PB [बिन्दु P से स्पर्श रेखाएँ हैं]

OP = OP [उभयनिष्ठ  ]

∴ Δ OAP Δ OBP [ SSS समरूपता]

∠ POA = ∠ POB

∠AOB = ∠POA + ∠ POB

∠AOB = ∠POA + ∠ POA [∵ ∠ POA = ∠ POB]

2 ∠POA = ∠AOB

2 ∠POA = 100°

∠POA = \(\frac{100^{\circ}}{2}\)

∠POA = 50°

विकल्प (A) सही उत्तर है।

4. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गयी स्पर्श-रेखाएँ समान्तर होती हैं।

हल :

NCERT Class 10 Maths Ex 10.2 Q4 solution

O क़ेन्द्र वाले वृत्त का व्यास AB है। PQ और RS वृत्त के व्यास AB के दोनों सिरों पर खींची गयी स्पर्श रेखाएँ हैं।

∴ OA ⊥ PQ तथा OB ⊥ RS

∴ ∠OAP = ∠OAQ = ∠OBR = ∠OBS = 90°

∠OAQ = ∠OBR = 90° [एकांतर अंत: कोण]

And ∠OAP = ∠OBS = 90°  [एकांतर अंत: कोण]

चूँकि एकांतर अंत: कोण PQ और RS बराबर है।

अत:, PQ, RS के समांतर है।

5. सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिन्दु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केन्द्र से होकर जाता हैं।

हल :

NCERT Class 10 Maths Ex 10.2 Q5 solution

माना, O क़ेन्द्र वाला एक वृत्त है, जिसका एक स्पर्श रेखा AB वृत्त को स्पर्श बिन्दु P पर स्पर्श करती है।

सिद्ध करना है कि PO वृत्त के केन्द्र O से होकर जाता है।

मान लीजिए कि PQ वृत्त के केन्द्र O से होकर नहीं जाता है। त्रिज्या OP को मिलाइए।

∠QPB = 90° ……………(i)

वृत्त की त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लम्ब होती है।

∠OPB = 90° ……………(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) को तुलना करने पर,

∠QPB = ∠OPB ……………(iii)

आकृति से, हमने पाया कि

∠QPB < ∠OPB ……………(iv)

इसलिए, ∠QPB = ∠OPB संभव नहीं है। यह तभी संभव है जब OP और QP संपाती रेखाएं हों।

∴ स्पर्श बिन्दु स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।

6. एक बिन्दु A से जो एक वृत्त के केन्द्र से 5 cm की दूरी पर है, वृत्त पर बिन्दु A से खींची स्पर्श रेखा की लम्बाई 4 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल :

NCERT Class 10 Maths Ex 10.2 Q6 solution

A से वृत्त पर एक स्पर्श रेखा AB खींची गयी है। OB को मिलाया गया है।

∴ OB ⊥ AB

दिया गया है, OA = 5 cm तथा AB = 4 cm

ΔABO में, 

OA2 = AB2 + BO2 [पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार]

⇒ (5)2 = (4)2 + BO2

⇒ 25 = 16 + BO2

⇒ BO2 = 25 – 16

⇒ BO2 = 9

⇒ BO = \(\sqrt{9}\)

⇒ BO = 3

∴ त्रिज्या की लम्बाई 3 cm है। (उत्तर)

7. दो संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 cm तथा 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती हो।

हल :

NCERT Class 10 Maths Ex 10.2 Q7 solution

O केन्द्र वाले दो संकेन्द्री वृत्त हैं जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः OQ = 5 cm एवं OM = 3 cm हैं। AB, बड़े वृत्त का जीवा है जो बिंदु P पर छोटे वृत्त को स्पर्श करता है।

त्रिज्या, स्पर्श रेखा पर लंब है।

∴ OP ⊥ AB

ΔOPA में, 

OA2 = AP2 + OP2 [पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार]

⇒ (5)2 = AP2 + (3)2

⇒ 25 = AP2 + 9

⇒ AP2 = 25 – 9

⇒ AP2 = 16

⇒ AP = \(\sqrt {16}\)

⇒ AP = 4

ΔOPB में, 

∵ OP ⊥ AB

AP = PB [केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है]

AB = 2AP = 2 x 4 = 8

∴ बड़े वृत्त के जीवा की लम्बाई = 8 cm. (उत्तर)

8. एक वृत्त के परिमत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है। (देखिए संलग्न आकृति : 10.12)। सिद्ध कीजिए कि: AB + CD = AD + BC.

NCERT Class 10 Maths Ex 10.2 Q8

हल :

DR = DS [बिन्दु D से खींची गई वृत की स्पर्श रेखाएँ ] ———– (i)

AP = AS [बिन्दु A से खींची गई वृत की स्पर्श रेखाएँ ] ———– (ii)

BP = BQ [बिन्दु B से खींची गई वृत की स्पर्श रेखाएँ ] ———– (iii)

CR = CQ [बिन्दु C से खींची गई वृत की स्पर्श रेखाएँ ] ———– (iv)

समीकरण (i), (ii), (iii) और (iv) को जोड़ने पर,

DR + AP + BP + CR = DS + AS + BQ + CQ

⇒ (AP + BP) + (DR + CR) = (DS + AS) + (BQ + CQ)

⇒ AB + CD = AD + BC (प्रमाणित)

9. आकृति 10.13 से XY तथा X’Y’ O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X’Y’ को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि: ∠AOB = 90° है।

NCERT Class 10 Maths Ex 10.2 Q9

हल :

NCERT Class 10 Maths Ex 10.2 Q9 solution

O तथा P को मिलाया गया

ΔOPA तथा ΔOCA में,

OP = OC [वृत्त की त्रिज्याएँ हैं]

AP = AC [बिन्दु A से स्पर्श रेखाएँ हैं]

AO = AO [उभयनिष्ठ]

Δ OPA ≅ Δ OCA [SSS समरूपता]

∠ POA = ∠ COA ————- (i)

उसी तरह, Δ OQB ≅ Δ OCB

∠ QOB = ∠ COB ————- (ii)

∵ POQ वृत्त का व्यास है, अर्थात POQ एक सरल रेखा है।

∠POA + ∠COA + ∠COB + ∠QOB = 180°

⇒ ∠COA + ∠COA + ∠COB + ∠COB = 180° [समीकरण (i) एवं (ii) से]

⇒ 2∠COA + 2∠COB = 180°

⇒ 2(∠COA + ∠COB) = 180°

⇒ ∠COA + ∠COB = 90°

⇒ ∠AOB = 90° (उत्तर)

10. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड द्वारा केन्द्र पर अन्तरित कोण का सम्पूरक होता है।

हल :

NCERT Class 10 Maths Ex 10.2 Q10 solution

माना, O क़ेन्द्र वाले वृत्त की PA और PB वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।

PA तथा PB को मिलाया गया।

त्रिज्या OA तथा OB स्पर्श रेखा पर लंब है।

∴ ∠OAP = ∠OBP = 90°

चतुर्भुज OAPB में,

∠OAP + ∠APB + ∠PBO + ∠BOA = 360°

⇒ 90° + ∠APB + 90 + ∠BOA = 360°

⇒ 180° + ∠APB + ∠BOA = 360°

⇒ ∠APB + ∠BOA = 360° – 180°

⇒ ∠APB + ∠BOA = 180° (प्रमाणित)

11. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समान्तर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।

हल :

NCERT Class 10 Maths Ex 10.2 Q11 solution

माना, ABCD एक समानान्तर चतुर्भुज है।

∴ AB = DC ——— (i)

तथा BC = AD ————- (ii)

अब,

DR = DS [बिन्दु D से वृत की स्पर्श रेखाएँ] ————- (iii)

CR = CQ [बिन्दु C से वृत की स्पर्श रेखाएँ] ————- (iv)

BP = BQ [बिन्दु B से वृत की स्पर्श रेखाएँ] ————– (v)

AP = AS [बिन्दु A से वृत की स्पर्श रेखाएँ] ————– (vi)

समीकरण (iii), (iv), (v) और (vi) को जोड़ने पर,

DR + CR + BP + AP = DS + CQ + BQ + AS

⇒ (DR + CR) + (BP + AP) = (DS + AS) + (CQ + BQ)

⇒ CD + AB = AD + BC

समीकरण (i) और (ii) से CD और AD का मान रखने पर,

AB + AB = BC + BC

⇒ 2AB = 2BC

⇒ AB = BC ———— (vii)

समीकरण (i), (ii) और (vii) से,

AB = BC = CD = DA

अत:, ABCD एक समचतुर्भुज है। (प्रमाणित)

12. 4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिमत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखण्ड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिन्दु D द्वारा BC विभाजित है) की लम्बाईयाँ क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं। (देखिए आकृति 10.14) भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।

NCERT Class 10 Maths Ex 10.2 Q12

हल :

NCERT Class 10 Maths Ex 10.2 Q12 solution

माना, ΔABC,

∴ CF = CD = 6 cm

BE = BD = 8 cm

माना, AE = AF = x

AB = AE + BE = x + 8

BC = BD + CD = 8 cm + 6 cm = 14 cm

CA = AF + CF = x + 6

हम जानते हैं कि,

2s = AB + BC + CA [जहाँ s वृत्त की अर्ध परिमिति है।]

⇒ 2s = x + 8 + 14 + 6 + x

⇒ 2s = 28 + 2x

⇒ 2s = 2(14 + x)

⇒ s = 14 + x

ΔABC का क्षेत्रफल,

NCERT Class 10 Maths Ex 10.2 Q12 solution

ΔOBC का क्षेत्रफल = \(\frac 12\) × OD × BC = \(\frac 12\) × 4 × 14 = 28 cm2

ΔOCA का क्षेत्रफल = \(\frac 12\) × OF × AC = \(\frac 12\) × 4 × (6 + x) = 12 + 2x cm2

ΔOAB का क्षेत्रफल = \(\frac 12\) × OE × AB = \(\frac 12\) × 4 × (8 + x) = 16 + 2x cm2

ΔABC का क्षेत्रफल = ΔOBC का क्षेत्रफल + ΔOCA का क्षेत्रफल + ΔOAB का क्षेत्रफल

⇒ \(4\sqrt{3\left ( 14x\;+\;x^{2} \right )}\) = 28 + 12 + 2x + 16 + 2x

⇒ \(4\sqrt{3\left ( 14x\;+\;x^{2} \right )}\) = 56 + 4x

⇒ \(4\sqrt{3\left ( 14x\;+\;x^{2} \right )}\) = 4(14 + x)

⇒ \(\sqrt{3\left ( 14x\;+\;x^{2} \right )}\) = 14 + x

⇒ 3(14x + x2) = (14 + x)2

⇒ 42x + 3x2 = (14)2 + 2.14.x + (x)2

⇒ 42x + 3x2 = 196 + 28x + x2

⇒ 42x + 3x2 – 196 – 28x – x2 = 0

⇒ 2x2 + 14x – 196 = 0

⇒ 2(x2 + 7x – 98) = 0

⇒ x2 + 7x – 98 = 0

⇒ x2 + 14x – 7x – 98 = 0

⇒ x(x + 14) – 7(x + 14) = 0

⇒ (x + 14)(x – 7) = 0

⇒ x + 14 = 0 या, x – 7 = 0

⇒ x = – 14 या, x = 7

∵  त्रिभुज की भुजा कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती है। इसलिए x = 7

∴ AB = x + 8 = 7 + 8 = 15 cm

CA = x + 6 = 7 + 6 = 13 cm (उत्तर)

13. सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केन्द्र पर सम्पूरक कोण अन्तरित करती हैं।

हल :

NCERT Class 10 Maths Ex 10.2 Q13 solution

ABCD एक चतुर्भुज है जो एक O केन्द्र वाली वृत्त के परिगत बनी हुई है जो वृत्त को P, Q, R और S बिन्दुओं पर स्पर्श करती है।

केंद्र O से बिन्दु  P, Q, R तथा S को मिलाया गया।

ΔOAP तथा ΔOAS में,

AP = AS [बिन्दु A से स्पर्श रेखाएँ हैं]

OP = OS [वृत्त की त्रिज्याएँ हैं]

OA = OA [उभयनिष्ठ]

Δ OAP ≅ Δ OAS [SSS समरूपता]

∠ POA = ∠ SOA

या, ∠ 1 = ∠ 8

इसी प्रकार,

∠ 2 = ∠ 3

∠ 4 = ∠ 5

∠ 6 = ∠ 7

अब,

∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 + ∠ 5 + ∠ 6 + ∠ 8 = 360°

⇒ (∠ 1 + ∠ 8) + (∠ 2 + ∠ 3) + (∠ 4 + ∠ 5) + (∠ 6 + ∠ 7) = 360°

⇒ 2 ∠ 1 + 2 ∠ 2 + 2 ∠ 5 + 2 ∠ 6 = 360°

⇒ 2 (∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 5 + ∠ 6) = 360°

⇒ (∠ 1 + ∠ 2) + (∠ 5 + ∠ 6) = 180°

⇒ ∠ AOB + ∠ COD = 180°

इसी प्रकार,

∠ BOC + ∠ DOA = 180°

अतः, वृत्त के परिगत बने चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केन्द्र पर सम्पूरक कोण अन्तरित करती हैं।

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अध्याय 4: द्विघात समीकरण का नोट्स
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अध्याय 7: निर्देशांक ज्यामिति का नोट्स
अध्याय 8: त्रिकोणमिति का परिचय का नोट्स
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⇒ अध्याय 10: वृत का नोट्स
अध्याय 11: रचनाएँ का नोट्स
अध्याय 12: वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल का नोट्स
अध्याय 13: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन का नोट्स
अध्याय 14: सांख्यिकी का नोट्स
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