NCERT Notes For Class 10 Maths Chapter 12 in Hindi वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल का नोट्स

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अध्याय 12: वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल प्रश्नावली 12.1

1. दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश: 19 cm और 9 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर हो।

हल :

पहले वृत्त की त्रिज्या (r1) = 19 cm

दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r2) = 9 cm

मान लिया कि नये वृत्त की त्रिज्या = r

पहले वृत्त की परिधि = 2πr1 = 2π × 19 = 38π cm

दूसरे वृत्त की परिधि = 2πr2 = 2π × 9 = 18π cm

नये वृत्त की परिधि = 2πr

प्रश्नानुसार,

नये वृत्त की परिधि = पहले वृत्त की परिधि + दूसरे वृत्त की परिधि

⇒ 2πr = 38π + 18π

⇒ 2πr = 56π

⇒ r = 28

अत:,गये नये वृत्त की त्रिज्या = 28 cm (उत्तर)

2. दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमश: 8 cm और 6 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफल के योग के बराबर है।

हल :

पहले वृत्त की त्रिज्या (r1) = 8 cm

दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r2) = 6 cm

मान लिया कि नये वृत्त की त्रिज्या = r

पहले वृत्त का क्षेत्रफल = πr12 = π × (8)2 = 64π cm2

दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल = πr22 = π × (6)2 = 36π cm2

नये वृत्त का क्षेत्रफल = πr2

प्रश्नानुसार,

नये वृत्त का क्षेत्रफल = पहले वृत्त का क्षेत्रफल + दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल

⇒ πr2 = 64π + 36π

⇒ πr2 = 100π

⇒ r2 = 100

⇒ r = 10

अत:,गये नये वृत्त की त्रिज्या = 10 cm (उत्तर)

3. आकृति 12.3 एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाती है जिसमें केन्द्र से बाहर की ओर पाँच क्षेत्र Gold, Red, Blue, Black और White चिह्नित हैं, जिनसे अंक अर्जित किए जा सकते हैं। Gold अंक वाले क्षेत्र का व्यास 21 cm तथा प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 cm चौड़ी है। अंक प्राप्त कराने वाले इन पाँचों क्षेत्रों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

NCERT Class 10 Maths Ex 12.1 Q3

हल :

GOLD क्षेत्र का व्यास = 21 cm

पहले वृत्त की त्रिज्या, r1 = \(\frac {21}{2}\) = 10.5 cm

दिया गया है, प्रत्येक पट्टी की चौड़ाई = 10.5 cm

दूसरे वृत्त की त्रिज्या, r2 = 10.5 cm + 10.5 cm = 21 cm

तीसरे वृत्त की त्रिज्या, r3 = 21 cm + 10.5 cm = 31.5 cm

चौथे वृत्त की त्रिज्या, r4 = 31.5 cm + 10.5 cm = 42 cm

पाँचवें वृत्त की त्रिज्या, r5 = 42 cm + 10.5 cm = 52.5 cm

Gold क्षेत्र का क्षेत्रफल = πr12 = π(10.5)2 = \(\frac{22}{7}\times 110.25\) = 346.50 cm2 (उत्तर)

Red क्षेत्र का क्षेत्रफल = दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल – पहले वृत्त का क्षेत्रफल

= πr22 – πr12

= π(21)2 − π(10.5)2 cm2

= 441π − 110.25π cm2

= 330.75 π cm2

= 330.75 × \(\frac {22}{7}\)

= 1039.50 cm2 (उत्तर)

Blue क्षेत्र का क्षेत्रफल = तीसरे वृत्त का क्षेत्रफल – दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल

= πr32 – πr22

= π(31.5)2 − π(21)2 cm2

= 992.25π − 441π cm2

= 551.25 π cm2

= 551.25 × \(\frac {22}{7}\)

= 1732.50 cm2 (उत्तर)

Black क्षेत्र का क्षेत्रफल = चौथे वृत्त का क्षेत्रफल – तीसरे वृत्त का क्षेत्रफल

= πr42 – πr32

= π(42)2 − π(31.5)2 cm2

= 1764π − 992.25π cm2

= 771.75 π cm2

= 771.75 × \(\frac {22}{7}\)

= 2425.50 cm2 (उत्तर)

White क्षेत्र का क्षेत्रफल = पाँचवें वृत्त का क्षेत्रफल – चौथे वृत्त का क्षेत्रफल

= πr52 – πr42

= π(52.5)2 − π(42)2 cm2

= 2756.25π − 1764π cm2

= 992.25 π cm2

= 992.25 × \(\frac {22}{7}\)

= 3118.50 cm2 (उत्तर)

4. किसी कार के प्रत्येक पहिये का व्यास 80 cm है। यदि यह कार 66 km प्रति घण्टे की चाल से चल रही है, तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने चक्कर लगाता है?

हल :

कार के पहिए का व्यास = 80 cm

कार के पहिए की त्रिज्या, r = \(\frac {80}{2}\) cm = 40 cm

कार के पहिए की परिधि = 2πr = 2π × 40 = 80 π cm

कार की गति = 66 km/hr = \(\frac{66\times 1000\times 100}{60}\) cm/min = 110000 cm/min

कार द्वारा 10 मिनट में तय की गई दूरी = 110000 × 10 = 1100000 cm

कार के प्रत्येक पहिया द्वारा लगाए गए चक्करों की संख्या = \(\frac{Distance\;travelled \;by \;car}{Circumference \;of \;wheels}\)

= \(\frac{1100000}{80\pi}\)

= \(\frac{1100000\times 7}{80\times 22}\)

= 4375 (उत्तर)

5. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए :
यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर हैं, तो उस वृत्त की त्रिज्या है:

(A) 2 मात्रक

(B) π मात्रक

(C) 4 मात्रक

(D) 7 मात्रक

हल :

माना, वृत्त की त्रिज्या = r

वृत्त की परिमाप = 2πr

वृत्त का क्षेत्रफल = πr2

प्रश्नानुसार,

2πr = πr2

2 = r

वृत्त की त्रिज्या 2 मात्रक है।

अतः, विकल्प (A) सही है।

अध्याय 12: वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल प्रश्नावली 12.2

1. 6 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है।

हल :

वृत्त की त्रिज्या, r = 6 cm

त्रिज्यखंड का कोण, θ = 60°

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\times \frac{22}{7}\times \left ( 6 \right )^{2}\)

= \(\frac{1}{6}\times \frac{22}{7}\times 36\)

= \(\frac{132}{7}\) cm2 (उत्तर)

2. एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि 22 cm है।

हल :

माना, वृत्त की त्रिज्या = r

वृत्त की परिधि = 22 cm

प्रश्नानुसार,

2πr = 22

⇒ \(2\times \frac{22}{7}\times r\) = 22

⇒ r = \(\frac 72\) cm

वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\frac{\theta}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac{90^{\circ}}{360^{\circ}}\times \frac{22}{7}\times \left (\frac{7}{2} \right )^{2}\) cm2

= \(\frac{1}{4}\times \frac{22}{7}\times \frac{49}{4}\) cm2

= \(\frac {77}{8}\) cm2 (उत्तर)

3. एक घड़ी की मिनट की सुई जिसकी लम्बाई 14 cm है। इस सुई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :

घड़ी की मिनट की सूई की लम्बाई, r = 14 cm

∵ मिनट की सुई 1 घंटे में 360° का कोण बनाती है।

5 मिनट में घड़ी की मिनट वाली सूई द्वारा बनाया गया कोण = \(\frac{360^{\circ}\times 5}{60^{\circ}}\) = 30°

घड़ी की सूई द्वारा 5 मिनट में रचित क्षेत्रफल = \(\frac {\theta}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac {30^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac {1}{12}\) × π (14)2

= \(\frac{1}{12}\times \frac{22}{7}\times 14\times 14\)

= \(\frac {154}{3}\) cm2 (उत्तर)

4. 10 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर एक समकोण अन्तरित करती है। निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :
(i) संगत लघु वृत्तखण्ड।
(ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)

हल :

NCERT Class 10 Maths Ex 12.2 Q4 solution

(i) वृत्त की त्रिज्या = 10 cm

जीवा द्वारा केन्द्र पर बनाया गया कोण = 90°

 लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac {90^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac 14\) × π × (10)2

= \(\frac 14\) × 3.14 × 10 × 10

= 78.5 cm2

∆AOB का क्षेत्रफल = \(\frac 12\) × OA × OB = \(\frac 12\) × 10 × 10 = 50 cm2

संगत लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल =  लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल − ∆AOB का क्षेत्रफल

= 78.5 − 50 cm2

= 28.5 cm2 (उत्तर)

(ii) संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल − लघु त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

= πr2 − 78.5

= 3.14 × (10)2 − 78.5

= 314 − 78.5

= 235.5 cm2 (उत्तर)

5. त्रिज्या 21 cm वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करता है। ज्ञात कीजिए :
(i) चाप की लम्बाई (2019)
(ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल (2019)
(iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल।

हल :

NCERT Class 10 Maths Ex 12.2 Q5solution

वृत्त की त्रिज्या = 21 cm

चाप द्वारा केन्द्र पर बनाया गया कोण, θ = 60°

(i) चाप की लम्बाई= \(\frac {\theta}{360^{\circ}}\) × 2πr

= \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}\times 2\times \frac{22}{7}\times 21\)

= \(\frac 16\) × 2 × 22 × 3

= 22 cm (उत्तर)

(ii) चाप द्वारा बनाये गये त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac {\theta}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac {60^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac 16\) × π × (21)2

= \(\frac{1}{6}\times \frac{22}{7}\times 21\times 21\)

= 11 × 21

= 231 cm2 (उत्तर)

(iii) ∵ OA = OB

त्रिभुज AOB एक समबाहु त्रिभुज है।

∆AOB का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (side)2

= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (21)2

= \(\frac{441\sqrt{3}}{4}\) cm2

संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल − ∆AOB का क्षेत्रफल

= \(\left (231\;-\;\frac{441\sqrt{3}}{4} \right )\) cm2 (उत्तर)

6. 15 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर 60° का कोण अन्तरित करती है। संगत लघु और दीर्घ वृत्तखण्डों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)

हल :

NCERT Class 10 Maths Ex 12.2 Q6 solution

वृत्त की त्रिज्या = 15 cm

जीवा द्वारा केन्द्र पर बनाया गया कोण, θ = 60°

त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल = \(\frac {\theta}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac {60^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac 16\) × 3.14 × (15)2

= \(\frac 16\) × 3.14 × 15 × 15

= 117.75 cm2

∆AOB का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (side)2

= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (15)2

= \(\frac{1.73}{4}\times 225\)

= 97.31 cm2

लघु वृत्तखण्ड APB का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड OAPB का क्षेत्रफल – ∆OAB का क्षेत्रफल

= 117.75 − 97.31 cm2

= 20.44 cm2 (उत्तर)

वृत्त का क्षेत्रफल = πr2 = 3.14 × (15)2 = 706.5 cm2

दीर्घ वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल – लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल

= 706.5 − 20.44 cm2

= 686.06 cm2 (उत्तर)

7. त्रिज्या 12 cm वाले एक वृत्त की कोई जीवा केन्द्र पर 120° का कोण अन्तरित करती है। संगत वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(π = 3.14 और √3 = 1.73 का प्रयोग कीजिए।)

हल :

NCERT Class 10 Maths Ex 12.2 Q7 solution

वृत्त की त्रिज्या = 12 cm

O से OD ⊥ AB खींचिए जो AB को D पर प्रतिच्छेद करती है।

AD = DB

∆AOD में,

⇒ \(\frac {OD}{OA}\) = cos 30°

⇒ \(\frac {OD}{12} = \frac {1}{2}\)

⇒ OD = 6 cm

⇒ \(\frac {AO}{OA}\) = sin 60°

⇒ \(\frac {AD}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

⇒ AD = \(6\sqrt{3}\) cm

AB = 2 × AD = 2 × \(6\sqrt{3}\) = \(12\sqrt{3}\) cm

∆AOB का क्षेत्रफल = \(\frac 12\) × AB × OD = \(\frac{1}{2}\times 12\sqrt{3}\times 6 = 36\sqrt{3}\) = 36 × 1.73 = 62.28 cm2

त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल = \(\frac {\theta}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac {120^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac 13\) × 3.14 × (12)2

= \(\frac 13\) × 3.14 × 12 × 12

= 150.72 cm2 (उत्तर)

लघु वृत्तखण्ड APB का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड OAPB का क्षेत्रफल – ∆AOB का क्षेत्रफल

= 150.72 − 62.28 cm2

= 88.44 cm2 (उत्तर)

8. 15 m भुजा वाले एक वर्गाकार घास के मैदान के एक कोने पर लगे खूटे से घोड़े को 5 m लम्बी रस्सी से बाँध दिया गया है (देखिए संलग्न आकृति 12.11) ज्ञात कीजिए :

NCERT Class 10 Maths Ex 12.2 Q8

(i) मैदान के उस भाग का क्षेत्रफल जहाँ घोड़ा घास चर सकता है।
(ii) चरे जा सकने वाले क्षेत्रफल में वृद्धि यदि घोड़े को 5 m रस्सी के स्थान पर 10 m लम्बी रस्सी से बाँध दिया जाय। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए।)

हल :

वर्गाकार मैदान की लम्बाई = 15 m

रस्सी की लम्बाई, r = 5 m

त्रिज्यखंड का कोण, θ = 90°

(i) घोड़े द्वारा घास चरे जा सकने वाला मैदान का क्षेत्रफल = \(\frac {\theta}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac {90^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac 14\) × 3.14 × (5)2

= \(\frac 14\) × 3.14 × 5 × 5

= 19.625 m2 (उत्तर)

(ii) यदि धोड़े को 5 m लम्बी रस्सी के स्थान पर 10 m लम्बी रस्सी से बाँध दिया जाय,

मैदान का क्षेत्रफल = \(\frac {\theta}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac {90^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac 14\) × 3.14 × (10)2

= \(\frac 14\) × 3.14 × 10 × 10

= 78.5 m2

चरे जा सकने वाले क्षेत्र वृद्धि = 78.5 − 19.625 = 58.875 cm2 (उत्तर)

9. एक वृत्ताकार बूच (brough) को चाँदी के तार से बनाया जाता है, जिसका व्यास 35 mm है। तार को वृत्त के 5 व्यासों को बनाने में प्रयुक्त किया गया है जो उसे 10 बराबर त्रिज्यखण्डों में विभाजित करता है जैसा कि संलग्न आकृति 12.12 में दर्शाया गया है। तो ज्ञात कीजिए :

NCERT Class 10 Maths Ex 12.2 Q9

(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लम्बाई।
(ii) बूच के प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल।

हल :

व्यासों की संख्या = 5

वृत्त का व्यास = 35 mm

वृत्त की त्रिज्या, r = \(\frac {35}{2}\) mm

(i) कुल वांछित चाँदी के तार की लम्बाई = वृत्त की परिमाप परिधि + पाँच व्यासों की लम्बाई

= 2πr + (5 × 35)

= \(2\times \frac{22}{7}\times \frac{35}{2}\) + 175 mm

= 110 + 175 mm

= 285 mm (उत्तर)

(ii) त्रिज्यखण्ड की संख्या = 10

 वृत्त का क्षेत्रफल = πr2 = \(\frac{22}{7}\times \left (\frac{35}{2} \right )^{2}\) = \(\frac{1925}{2}\) mm2

प्रत्येक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac{1925}{2}\times \frac{1}{10} = \frac {385}{4}\) mm2 (उत्तर)

10. एक छतरी में आठ ताने हैं, जो बराबर दूरी पर लगे हुए हैं। (देखिए संलग्न आकृति 12.13)। छतरी को 45 cm त्रिज्या वाला एक सपाट वृत्त मानते हुए इसकी दो क्रमांगत तानों के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

NCERT Class 10 Maths Ex 12.2 Q10

हल :

तानों की कुल संख्या = 8

छतरी की त्रिज्या = 45 cm

वृत्त का क्षेत्रफल = πr2 = \(\frac{22}{7}\) × (45)2 = \(\frac {2025}{7}\) cm2

दो क्रमागत तानों के बीच का क्षेत्रफल = \(\frac{2025}{7}\times \frac{1}{8}\) = 795.5 cm2 (उत्तर)

11. किसी कार के दो वाइपर (Wiper) हैं, परस्पर कभी भी अच्छादित नहीं होते हैं। प्रत्येक वाइपर की पत्ती की लम्बाई 25 cm है और 115° के कोण तक घूमकर सफाई कर सकता है। पत्तियों की प्रत्येक बुहार के साथ जितना क्षेत्रफल साफ हो जाता है, वह ज्ञात कीजिए।

हल :

प्रत्येक वाइपर द्वारा केन्द्र पर बना कोण = 115°

वाइपर की पत्ती की लम्बाई = 25 cm

प्रत्येक वाइपर द्वारा बने त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac {115^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac{23}{72}\times \frac{22}{7}\times \left (25 \right )^{2}\)

= \(\frac{23}{72}\times \frac{22}{7}\times 625\)

= \(\frac{158125}{252}\) cm2

दोनों वाइपर द्वारा बने त्रिज्यखण्ड का कुल क्षेत्रफल = 2 × \(\frac{158125}{252}\) = 1254.96 cm2 (उत्तर)

12. जहाजों को समुद्र में जल स्तर के नीचे स्थित चट्टानों को चेतावनी देने के लिए, एक लाइट हाउस (Light house) 80° कोण वाले एक त्रिज्यखण्ड में 16.5 km की दूरी तक लाल रंग का प्रकाश फैलाता है। समुद्र के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिससे जहाजों को चेतावनी दी जा सके। (π = 3.14 का प्रयोग कीजिए)।

हल :

NCERT Class 10 Maths Ex 12.2 Q12 solution

माना, बिंदु O लाइट हाउस स्थिति है।

वृत्त की त्रिज्या = 16.5 km

त्रिज्यखंड का कोण = 80°

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac {80^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac{2}{9}\times \frac{22}{7}\times \left (16.5 \right )^{2}\)

= \(\frac{2}{9}\) × 3.14 × 16.5 × 16.5

= 189.97 km2 (उत्तर)

13. एक गोल मेजपोश पर छः समान डिजाइन बने हुए हैं, जैसा कि संलग्न आकृति 12.14 में दर्शाया गया है। यदि मेजपोश की त्रिज्या 28 cm है, तो ₹ 0.35 प्रतिवर्ग सेण्टीमीटर की दर से इन डिजाइनों को बनाने की लागत ज्ञात कीजिए। (√3 = 1.7 का प्रयोग कीजिए।)

NCERT Class 10 Maths Ex 12.2 Q13

हल :

NCERT Class 10 Maths Ex 12.2 Q13 solution

वृत्त की त्रिज्या= 28 cm

डिजाइन की कुल संख्या = 6

एक सेक्टर का कोण = \(\frac {360^{\circ}}{6}\) = 60°

प्रत्येक = ₹ 0.35 per cm2

∆AOB में,

∠OAB = ∠OBA [∵ OA = OB]

∠AOB = 60°

∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°

2∠OAB = 180° – 60° = 120°

∠OAB = 60°

 त्रिभुज AOB एक समबाहु त्रिभुज है।

∆AOB का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (side)2

= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (28)2

= \(196\sqrt{3}\) cm2

= 196 × 1.7

= 333.2 cm2

त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल = \(\frac {60^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac{1}{6}\times \frac{22}{7}\times \left (28 \right )^{2}\)

= \(\frac {1232}{3}\) cm2

= 410.66 cm2

वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड OAPB का क्षेत्रफल − ∆AOB का क्षेत्रफल

= 410.66 − 333.2 cm2

= 77.46 cm2

∴ 6 वृत्तखण्डों का कुल क्षेत्रफल = 6 × 77.46 cm= 464.76 cm2

अत: डिजाइन बनाने की कुल लागत = 464.76  × ₹ 0.35 = ₹ 162.66 (उत्तर)

14. निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए : त्रिज्या R वाले वृत्त के उस त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल जिसका कोण P° है, निम्नलिखित है :

(A) \(\frac {p}{180}\) × 2πR

(B) \(\frac {p}{180}\) × πR2

(C) \(\frac {p}{360}\) × 2πR

(D) \(\frac {p}{720}\) × 2πR2

हल :

दिया गया है, θ = p

त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = \(\frac {p}{360}\) × πR2

= \(\frac {p}{360}\) × πR2 × \(\frac 22\)

= \(\frac {p}{720}\) × 2πR2

अत: विकल्प (D) सही उत्तर है।

अध्याय 12: वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल प्रश्नावली 12.3

1. आकृति 12.19 में छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि PQ = 24 cm, PR = 7 cm तथा O वृत्त का केन्द्र है।

NCERT Class 10 Maths Ex 12.3 Q1

हल :

दिया गया है, PQ = 24 cm तथा PR = 7 cm

∠P = 90°

∆PQR में,

QR2 = PR2 + PQ2 [पाइथागोरस प्रमेय से]

⇒ QR2 = (7)2 + (24)2

⇒ QR2 = 49 + 576

⇒ QR2 = 625

⇒ QR = \(\sqrt{625}\)

⇒ QR = 25 cm

वृत्त की त्रिज्या = \(\frac {RQ}{2} = \frac {25}{2}\) cm

अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac 12\) × πr2

= \(\frac{1}{2}\times \frac{22}{7}\times \frac{25}{2}\times \frac{25}{2}\)

= \(\frac {13750}{56}\) cm2

= 245.54 cm2

∆PQR का क्षेत्रफल = \(\frac 12\) × PR × PQ = \(\frac 12\) × 7 × 24 = 84 cm2

∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल – ∆PQR का क्षेत्रफल

= 245.54 cm2 – 84 cm2

= 161.54 cm2 (उत्तर)

2. आकृति 12.20 में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि केन्द्र O वाले दोनों संकेन्द्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 7 cm और 14 cm हैं तथा ∠AOC = 40° है।

NCERT Class 10 Maths Ex 12.3 Q2

हल :

छोटे वृत्त की त्रिज्या, r = 7 cm

बड़े वृत्त की त्रिज्या, R = 14 cm

त्रिज्यखंड का कोण = 40°

त्रिज्यखंड OAC का क्षेत्रफल = \(\frac {40^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πR2

= \(\frac{1}{9}\times \frac{22}{7}\times \left (14 \right )^{2}\)

= \(\frac {616}{9}\) cm2

त्रिज्यखंड BOD का क्षेत्रफल = \(\frac {40^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac{1}{9}\times \frac{22}{7}\times \left (7 \right )^{2}\)

= \(\frac {154}{9}\) cm2

∴ छायांकित भाग ABDC का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड OAC का क्षेत्रफल – त्रिज्यखंड BOD का क्षेत्रफल

= \(\frac {616}{9}\;-\;\frac {154}{9}\)

= \(\frac {462}{9}\) cm2

= \(\frac {154}{3}\) cm2 (उत्तर)

3. आकृति 12.21 में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि ABCD भुजा 14 cm का एक वर्ग है तथा APD तथा BPC दो अर्द्धवृत्त हैं।

NCERT Class 10 Maths Ex 12.3 Q3

हल :

वर्ग की भुजा = 14 cm

वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)2 = (14)2 = 196 cm

 अर्द्धवृत्त का व्यास = 14 cm

अर्धवृत्त की त्रिज्या = \(\frac {14}{2}\) = 7 cm

अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac {1}{2}\) × πr2

= \(\frac{1}{2}\times \frac{22}{7}\times 7\times 7\)

= 77 cm2

दोनों अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = 2 × 77 cm2

= 144 cm2

छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – दोनों अर्धवृत्त का क्षेत्रफल

= 144 cm2 – 77 cm2

= 77 cm2 (उत्तर)

4. आकृति 12.22 में, छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जहाँ भुजा 12 cm वाले एक समबाहु त्रिभुज OAB के शीर्ष O को केन्द्र मानकर 6 cm त्रिज्या वाला एकवृत्तीय चाप खींचा गया है।

NCERT Class 10 Maths Ex 12.3 Q4

हल :

वृत्त की त्रिज्या = 6 cm.

त्रिभुज की भुजा = 12 cm.

समबाहु त्रिभुज का कोण = 60°

∆AOB का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (भुजा)2

= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (12)2

= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × 144

= \(36\sqrt{3}\) cm2

वृत्त का क्षेत्रफल = πr2

= π × (6)2

= \(\frac {22}{7}\) × 6 × 6

= \(\frac {792}{7}\) cm2

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac {60^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac{1}{6}\times \frac{22}{7}\times \left (6 \right )^{2}\)

= \(\frac {132}{7}\) cm2

छायांकित भाग का क्षेत्रफल = ∆AOB का क्षेत्रफल + वृत्त का क्षेत्रफल – त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

= \(36\sqrt{3}\) cm2 + \(\frac {792}{7}\) cm2 – \(\frac {132}{7}\) cm2

= \(\left (36\sqrt{3}\;+\;\frac{660}{7} \right )\) cm2 (उत्तर)

5. भुजा 4 cm वाले एक वर्ग के प्रत्येक कोने से 1 cm त्रिज्या वाले वृत्त का एक चतुर्थांश काटा गया है तथा बीच में 2 cm व्यास का एक वृत्त भी काटा गया है, जैसा कि आकृति 12.23 में दर्शाया गया है। वर्ग के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

NCERT Class 10 Maths Ex 12.3 Q5

हल :

वर्ग की भुजा = 4 cm

वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)2 = (4)2 = 16 cm2

वृत्त की त्रिज्या = 1 cm

वृत के एक चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\frac {1}{4}\) × πr2

= \(\frac{1}{4}\times \frac{22}{7}\times 1\times 1\)

= \(\frac {11}{14}\) cm2

वृत्त का क्षेत्रफल = πr2

= π × (1)2

= \(\frac {22}{7}\) cm2

छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – (वृत के चार चतुर्थांश का क्षेत्रफल + वृत्त का क्षेत्रफल)

= 16 – \(\left (4\times \frac{11}{14}\;+\;\frac{22}{7} \right )\)

= 16 – \(\frac {44}{7}\)

= \(\frac {112\;-\;44}{7}\)

= \(\frac {68}{7}\) cm2 (उत्तर)

6. एक वृत्ताकार मेज पोश जिसकी त्रिज्या 32 cm है, के बीच में एक समबाहु त्रिभुज ABC छोड़ते हुए एक डिजाइन बना हुआ है, जैसा कि आकृति 12.24 में दिखाया गया है। इस डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

NCERT Class 10 Maths Ex 12.3 Q6

हल :

NCERT Class 10 Maths Ex 12.3 Q6 solution

वृत्त की त्रिज्या = 32 cm

त्रिभुज के शीर्ष A से AD एक लम्ब भुजा BC पर डाला गया।

⇒ BD = \(\frac {AB}{2}\)

केन्द्रक O, माध्यिका AD को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

∴ AO : OD = 2 : 1

∴ AO = \(\frac 23\)AD

⇒ 32 = \(\frac 23\)AD

⇒ AD = 48 cm

ΔADB  में,

AB= AD+BD2 [पाइथागोरस प्रमेय से]

⇒ \(AB^{2} = \left ( 48 \right )^{2}\;+\;\left (\frac{AB}{2} \right )^{2}\)

⇒ \(AB^{2} \;-\; \frac{AB^{2}}{4}\) = (48)2

⇒ \(\frac{3}{4}AB^{2}\) = (48)2

⇒ AB = \(\frac{48\times 2}{\sqrt{3}} = \frac{96\sqrt{3}}{3} = 32\sqrt{3}\) cm

ΔADB का क्षेत्रफल = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (भुजा)2

= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\left ( 32\sqrt{3} \right )^{2}\)

= \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × 3072

= \(768\sqrt{3}\) cm2

वृत्त  का क्षेत्रफल = πr2

= π × (32)2

= \(\frac {22}{7}\) × 1024 cm2

= \(\frac {22528}{7}\) cm2

छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वृत्त  का क्षेत्रफल – ΔADB का क्षेत्रफल

= \(\left (\frac{22528}{7}\;-\;768\sqrt{3} \right )\) cm2 (उत्तर)

7. आकृति 12.25 में, ABCD एक 14 cm भुजा वाला वर्ग है। A, B, C और D को केन्द्र मानकर चार वृत्त इस प्रकार खींचे गए हैं कि प्रत्येक वृत्त शेष तीन वृत्तों में से दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

NCERT Class 10 Maths Ex 12.3 Q7

हल :

वर्ग की भुजा = 14 cm

वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = 14= 196 cm2

 वृत्त का व्यास = 14 cm

वृत्त की त्रिज्या = \(\frac {14}{2}\) = 7 cm

वृत के एक चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\frac {1}{4}\) × πr2

= \(\frac{1}{4}\times \frac{22}{7}\times 7\times 7\)

= \(\frac {77}{2}\) cm2

वृत्त के चतुर्थांशों का कुल क्षेत्रफल = 4 × \(\frac {77}{2}\) = 154 cm2

छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वर्ग ABCD का क्षेत्रफल – वृत्त के चतुर्थांशों का कुल क्षेत्रफल

= 196 cm– 154 cm2

= 42 cm2 (उत्तर)

8. आकृति 12.26 एक दौड़ने का पथ (racing track) दर्शाती है जिसके बाएँ और दाएँ सिरे अर्द्धवृत्ताकार हैं।

दोनों आन्तरिक समानान्तर रेखाखण्डों के बीच की दूरी 60 m है तथा इनमें से प्रत्येक रेखाखण्ड 106 m लम्बा है। यदि यह पथ 10 m चौड़ा है तो ज्ञात कीजिए :
(i) पथ के आन्तरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गयी दूरी।
(ii) पथ का क्षेत्रफल।

NCERT Class 10 Maths Ex 12.3 Q8

हल :

पथ की चौड़ाई = 10 m

पथ की आंतरिक लम्बाई = 106 m

NCERT Class 10 Maths Ex 12.3 Q8 solution

DE = CF = 60 m

आंतरिक अर्धवृत्त की त्रिज्या, r = OD = O’C = \(\frac {60}{2}\) m = 30 m

बाहरी अर्धवृत्त की त्रिज्या, R = OA = O’B = 30 + 10 m = 40 m

AB = CD = EF = GH = 106 m

(i) पथ के आन्तरिक किनारों के अनुदिश एक पूरा चक्कर लगाने में चली गयी दूरी = CD + EF + 2× (आंतरिक वृत्त की परिधि)

= 106 + 106 + (2 × πr) m

= 212 + (2 × \(\frac {22}{7}\) × 30) m

= 212 + \(\frac {1320}{7}\) m

= \(\frac {2804}{7}\) m (उत्तर)

(ii) पथ का क्षेत्रफल = Area of ABCD + Area EFGH + 2 × (पथ के बाहरी वृत्त का क्षेत्रफल) – 2 × (पथ के आंतरिक वृत्त का क्षेत्रफल)

= (AB×CD) + (EF×GH) + 2 × \(\frac {1}{2}\) × πr2 – 2 × \(\frac {1}{2}\) × πR2 m2

= (106×10) + (106×10) + 2 × \(\frac {\pi}{2}\)(r2 – R2) m2

= 2120 + \(\frac {22}{7}\) × 70 × 10 m2

= 4320 m2 (उत्तर)

9. आकृति 12.27 में AB और CD केन्द्र O वाले वृत्त के दो परस्पर लम्ब व्यास हैं तथा OD छोटे वृत्त का व्यास है। यदि OA = 7 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

NCERT Class 10 Maths Ex 12.3 Q9

हल :

बड़े वृत्त की त्रिज्या, R = 7 cm

छोटे वृत्त की त्रिज्या, r = \(\frac 72\) cm

ΔBCA का शीर्षलम्ब = OC = 7 cm

ΔBCA का आधार = AB = 14 cm

ΔBCA का क्षेत्रफल = \(\frac 12\) × AB × OC = \(\frac 12\) × 7 × 14 = 49 cm2

बड़े वृत्त का क्षेत्रफल = πR= \(\frac {22}{7}\) ×72 = 154 cm2

बड़े अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = \(\frac {154}{2}\) cm= 77 cm2

छोटे वृत्त का क्षेत्रफल = πr2 = \(\frac{22}{7}\times \frac{7}{2}\times \frac{7}{2} = \frac {77}{2}\) cm2

छायांकित भाग का क्षेत्रफल = बड़े वृत्त का क्षेत्रफल – ΔBCA का क्षेत्रफल – बड़े अर्धवृत्त का क्षेत्रफल + छोटे वृत्त का क्षेत्रफल

= 154 – 49 – 77 + \(\frac {77}{2}\) cm2

= \(\frac {133}{2}\) cm2 

= 66.5 cm2 (उत्तर)

10. एक समबाहु त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 17320.5 cm² है। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष को केन्द्र मानकर त्रिभुज की भुजा के आधे के बराबर की त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जाता है। (देखिए आकृति 12.28) छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 और √3 = 1.73205 लीजिए।)

NCERT Class 10 Maths Ex 12.3 Q10

हल :

समबाहु त्रिभुज का कोण = 600

∴ ∠ A = ∠ B = ∠ C = 60°

ΔABC का क्षेत्रफल = 17320.5 cm2

⇒ \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) × (भुजा)2 = 17320.5

⇒ (भुजा)2 = \(\frac{17320.5\times 4}{1.73205}\)

⇒ (भुजा)2 = 4 × 10000

⇒ भुजा = 2 × 100

⇒ भुजा = 200 cm

∴ वृत्त की त्रिज्या = \(\frac {200}{2}\) cm = 100 cm

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = \(\frac {60^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac 16\) × 3.14 × (100)2

= \(\frac 16\) × 3.14 × 100 × 100

= \(\frac {15700}{3}\) cm2

तीन त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल = 3 × \(\frac {15700}{3}\) = 15700 cm2

∴ छायांकित भाग का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल – तीन त्रिज्यखंडों का क्षेत्रफल

= 17320.5 – 15700 cm2

= 1620.5 cm2 (उत्तर)

11. एक वर्गाकार रूमाल पर नौ वृत्ताकार डिजाइन बने हैं, जिनमें A से प्रत्येक की त्रिज्या 7 cm है (देखिए आकृति 12.29) रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

NCERT Class 10 Maths Ex 12.3 Q11

हल :

वृत्त की त्रिज्या = 7 cm

वृत्त का व्यास = 7 × 2 = 14 cm

वृत्तों की कुल संख्या = 9

∴ वर्गाकार रूमाल की भुजा = 3 × वृत्त का व्यास = 3 × 14 = 42 cm

वर्ग का क्षेत्रफल =  (भुजा)2 = (14)2 = 1764 cm2

वृत्त का क्षेत्रफल = πr= \(\frac {22}{7}\) × 7 × 7 = 154 cm2

9 वृत्तों का क्षेत्रफल = 9 × 154 = 1386 cm2

रूमाल के शेष भाग का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल – 9 वृत्तों का क्षेत्रफल

= 1764 – 1386 cm2

= 378 cm2 (उत्तर)

12. आकृति 12.30 में, OACB केन्द्र O और त्रिज्या 3.5 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 cm है, तो निम्नलिखित के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
(i) चतुर्थांश OACB
(ii) छायांकित भाग।

NCERT Class 10 Maths Ex 12.3 Q12

हल :

वृत्त के चतुर्थांश की त्रिज्या = 3.5 cm

(i) चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल = \(\frac 14\) × πr2

= (\frac 14\) × (\frac {22}{7}\) × 3.5 × 3.5 cm2

= \(\frac {77}{8}\) cm2

= 9.625 cm2

(ii) त्रिभुज BOD का क्षेत्रफल = \(\frac 12\) × OB × OD cm2

= \(\frac 12\) × 3.5 × 2 cm2

= 3.5 cm2

छायांकित भाग का क्षेत्रफल = चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल – त्रिभुज BOD का क्षेत्रफल

= 9.625 cm2 – 3.5 cm

= 6.125 cm2 (उत्तर)

13. आकृति 12.31 में एक चतुर्थांश OPBQ के अन्तर्गत एक वर्ग OABC बना हुआ है। यदि OA = 20 cm है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए।)

NCERT Class 10 Maths Ex 12.3 Q13 solution

हल :

वर्ग की भुजा = OA = AB = 20 cm

चतुर्थांश की त्रिज्या = OB

ΔOAB में,

OB= AB2 + OA2 [पाइथागोरस प्रमेय से]

⇒ OB= 20+202

⇒ OB= 400 + 400

⇒ OB= 800

⇒ OB= 20√2 cm

वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\frac {90^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac 14\) × 3.14 × (20√2)cm

= 628 cm2

वर्ग का क्षेत्रफल = (भुजा)2 = (20)2 = 400 cm2

छायांकित भाग का क्षेत्रफल = वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल – वर्ग का क्षेत्रफल

= 628 – 400 cm

= 228 cm2 (उत्तर)

14. AB और CD केन्द्र O और त्रिज्याओं 21 cm और 7 cm वाले दो संकेन्द्रीय वृत्तों के दो चाप है (देखिए आकृति 12.32)। यदि ∠AOB = 30° है, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

NCERT Class 10 Maths Ex 12.3 Q14

हल :

बड़े वृत्त की त्रिज्या, R = 21 cm

छोटे वृत्त की त्रिज्या, r = 7 cm

त्रिज्यखंड का कोण  = 30°

त्रिज्यखंड OAEB का क्षेत्रफल = \(\frac {30^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac {1}{12} × \frac {22}{7}\) × (21)2

= \(\frac {231}{2}\) cm2

त्रिज्यखंड OCFD का क्षेत्रफल = \(\frac {30^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac {1}{12} × \frac {22}{7}\) × (7)2

= \(\frac {77}{6}\) cm2

छायांकित भाग का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड OAEB का क्षेत्रफल – त्रिज्यखंड OCFD का क्षेत्रफल

= \(\frac {231}{2}\;-\;\frac {77}{6}\)

= \(\frac {308}{3}\) cm2 (उत्तर)

15. आकृति 12.33 में ABC त्रिज्या 14 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है तथा BC को व्यास मानकर एक अर्द्धवृत्त खींचा गया है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

NCERT Class 10 Maths Ex 12.3 Q15

हल :

वृत्त की त्रिज्या = 14 cm

AB = AC = 14 cm

अर्धवृत्त का BC व्यास  है।

ΔABC में,

BC= AB+ AC2 [पाइथागोरस प्रमेय से]

⇒ BC= 14+142

⇒ BC = 14√2 cm

अर्धवृत्त की त्रिज्या = \(\frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2}\) cm

ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac 12\) × 14 × 14 = 98 cm2

वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल = \(\frac {90^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac 14\) × \(\frac {22}{7}\) × (14)cm

= 154 cm2

अर्धवृत्त का क्षेत्रफल =  \(\frac 12\) × πr2

= \(\frac{1}{2}\times \frac{22}{7}\times 7\sqrt{2}\times 7\sqrt{2}\)

= 154 cm2

छायांकित भाग का क्षेत्रफल = अर्धवृत्त का क्षेत्रफल + ΔABC का क्षेत्रफल – वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल

= 154 + 98 – 154 cm

= 98 cm2 (उत्तर)

16. आकृति 12.34 में छायांकित डिजाइन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जो 8 cm त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के चतुर्थांशों के बीच उभयनिष्ठ है।

हल :

ΔABC का क्षेत्रफल = \(\frac 12\) × AB × BC = \(\frac 12\) × 8 × 8 = 32 cm2

वृत्त के चतुर्थांश AECB का क्षेत्रफल = \(\frac {90^{\circ}}{360^{\circ}}\) × πr2

= \(\frac 14\) × \(\frac {22}{7}\) × (8)cm

= \(\frac {352}{7}\) cm2

छायांकित भाग का क्षेत्रफल = 2 × (वृत्त के चतुर्थांश AECB का क्षेत्रफल – ΔABC का क्षेत्रफल)

= 2 × \(\left ( \frac{352}{9}\;-\;32 \right )\) cm2

= \(2\times \frac{128}{7}\) cm2

= \(\frac{256}{7}\) cm2 (उत्तर)

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अध्याय 2: बहुपद का नोट्स
अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म का नोट्स
अध्याय 4: द्विघात समीकरण का नोट्स
अध्याय 5: समांतर श्रेढियाँ का नोट्स
अध्याय 6: त्रिभुज का नोट्स
अध्याय 7: निर्देशांक ज्यामिति का नोट्स
अध्याय 8: त्रिकोणमिति का परिचय का नोट्स
अध्याय 9: त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग का नोट्स
अध्याय 10: वृत का नोट्स
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